Automatische Berechnung von Grenzwerten und Implementierung in Mathematica

In[5]:=

OutputProcessor = ((# /. {ToInternal [h, x] \to H}) &); Damit ist der Weg frei für die Berechnung des Grenzwertes für x \to ∞ : In[6]:= MrvLimit [f, x \to \infty, Debug \to 1] ​ Enter Level ​ 1 ​ Call ​ MrvLimitInf [x - ⅇ^{x} + \frac{ⅇ^{ⅇ^{- x + H}} ⅇ^{H} ⅇ^{- \frac{x}{1 + H}}}{H^{2}}, x, Debug \to 1] ​ Calculating limit of ​ x - ⅇ^{x} + \frac{ⅇ^{H} ⅇ^{ⅇ^{H - x}} ⅇ^{- \frac{x}{1 + H}}}{H^{2}} ​ Calculating Mrv set of ​ x - ⅇ^{x} + \frac{ⅇ^{H} ⅇ^{ⅇ^{H - x}} ⅇ^{- \frac{x}{1 + H}}}{H^{2}} ​ Ω= ​ {MrvF [ⅇ^{x}, 3, \infty], MrvF [ⅇ^{- x}, 5, 0], MrvF [H, 14, 0], MrvF [ⅇ^{H - x}, 20, 0], MrvF [ⅇ^{- \frac{x}{1 + H}}, 23, 0]} MrvSet hat 5 verschiedene Teilausdrücke gefunden, die allesamt exponentielles 
Wachstum besitzen, und hat diese auch gleich nach Komplexität geordnet: e^{x}, e^{- x}, h, e^{h - x} und e^{- \frac{x}{1 + h}} . e^{x} strebt dabei gegen ∞, 
die anderen streben gegen 0. Es sei noch mal darauf hingewiesen, dass der Term H nur in der Ausgabe
auftaucht, der Algorithmus selbst arbeitet dagegen immer mit dem kompletten
Funktionsterm. ​ ω= ​ ⅇ^{x} ​ Replacing ω→1/ω: ω= ​ ⅇ^{- x} Als ω wurde der einfachste Term e^{x} gewählt. Da aber
immer ein Term mit Grenzwert 0 gewählt werden muss, wird stattdessen e^{- x} verwendet, der diesmal zufälligerweise auch in Ω liegt. ​ Prepare to rewrite g= ​ ⅇ^{- \frac{x}{1 + H}} ​ to A*ω^c ​ c= ​ 1 ​ A= ​ ⅇ^{x - \frac{x}{1 + H}} ​ Rewriting ​ ⅇ^{- \frac{x}{1 + H}} ​ \to ​ ⅇ^{x - \frac{x}{1 + H}} ω^{1} ​ f= ​ x - ⅇ^{x} + \frac{ⅇ^{H} ⅇ^{ⅇ^{H - x}} ⅇ^{x - \frac{x}{1 + H}} ω^{1}}{H^{2}} Der Algorithmus hat sich den komplexesten Term e^{- \frac{x}{1 + h}} ausgesucht und schreibt ihn in einen Term A \cdot ω^{c} um. 
Der statt dessen eingesetzte Term e^{x - \frac{x}{1 + h}} hat eine
niedrigere Wachstumsklasse, erst das außerdem auftauchende ω^{1} erzeugt wieder das alte Wachstum. Man sieht auch, dass durch die Ersetzung ein Term h hinzugekommen 
ist, der dann später ersetzt wird. Deswegen ist die Reihenfolge der Ersetzung so 
entscheidend. Die weiteren Ersetzungen erfolgen analog: ​ Prepare to rewrite g= ​ ⅇ^{H - x} ​ to A*ω^c ​ c= ​ 1 ​ A= ​ ⅇ^{H} ​ Rewriting ​ ⅇ^{H - x} ​ \to ​ ⅇ^{H} ω^{1} ​ f= ​ x - ⅇ^{x} + \frac{ⅇ^{H} ⅇ^{x - \frac{x}{1 + H}} ⅇ^{ⅇ^{H} ω^{1}} ω^{1}}{H^{2}} ​ Prepare to rewrite g= ​ H ​ to A*ω^c ​ c= ​ 1 ​ A= ​ ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{- x}}} ​ Rewriting ​ H ​ \to ​ ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{- x}}} ω^{1} ​ f= ​ x - ⅇ^{x} + \frac{ⅇ^{ⅇ^{ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{- x}}} ω^{1}} ω^{1}} ⅇ^{ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{- x}}} ω^{1}} ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{- x}}} ω^{1}}} ω^{1}}{{(ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{- x}}} ω^{1})}^{2}} ​ Prepare to rewrite g= ​ ⅇ^{- x} ​ to A*ω^c ​ c= ​ 1 ​ A= ​ 1 ​ Rewriting ​ ⅇ^{- x} ​ \to ​ ω^{1} ​ f= ​ x - ⅇ^{x} + \frac{ⅇ^{ⅇ^{ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1}} ω^{1}} ⅇ^{ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1}} ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1}}} ω^{1}}{{(ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1})}^{2}} ​ Prepare to rewrite g= ​ ⅇ^{x} ​ to A*ω^c ​ c= ​ - 1 ​ A= ​ 1 ​ Rewriting ​ ⅇ^{x} ​ \to ​ \frac{1}{ω} ​ f= ​ x - \frac{1}{ω} + \frac{ⅇ^{ⅇ^{ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1}} ω^{1}} ⅇ^{ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1}} ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1}}} ω^{1}}{{(ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1})}^{2}} Damit ist die Funktion vollständig transformiert. Das exponentielle Wachstum konzentriert
sich in ω, alle anderen, nicht von ω abhängigen Teilausdrücke haben niedrigere
Ordnung. Der Weg ist frei für die Potenzreihenentwicklung: ​ Calculating power series: f= ​ x - \frac{1}{ω} + \frac{ⅇ^{ⅇ^{ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1}} ω^{1}} ⅇ^{ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1}} ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1}}} ω^{1}}{{(ⅇ^{x - \frac{x}{1 + ω^{1}}} ω^{1})}^{2}} ​ Series expansion: ​ 2 + (3 + \frac{3 x^{2}}{2}) ω + {O [ω]}^{2} ​ Dominant term: ​ 2 ω^{0} ​,ω= ​ ⅇ^{- x} Damit zerfällt die scheinbar so komplexe Funktion zu nichts. Der führende Term
hat die Ordnung 0, das Wachstum von e^{- x} löscht sich also
vollständig aus. Der Restterm niedrigerer Wachstumsklasse ist konstant 2, 
deswegen sind keine weiteren Berechnungen erforderlich, das Endergebnis ist 2: ​ Dominant asymptotic: ​ 2 ​ {(ⅇ^{- x})}^{0} ​ Leave Level ​ 1 ​ Call ​ MrvLimitInf [x - ⅇ^{x} + \frac{ⅇ^{ⅇ^{- x + H}} ⅇ^{H} ⅇ^{- \frac{x}{1 + H}}}{H^{2}}, x, Debug \to 1] == 2 Out[6]= 2 6.2 Überlagerung unterschiedlichen Wachstums Als nächstes folgt ein typisches Beispiel für das Auftreten verschiedener Wachstumsklassen
in einem Term und deren stückweise Abarbeitung. Das Beispiel stammt von [Gru96], 
Beispiel 3.5 von Seite 60, geht aber auf [RSSH96] zurück. Die Debugausgabe ist
hier nur in gekürzter Form wiedergegeben. In[1]:= f = Log [Log [x E^(x E^x) + 1]] - E^E^(Log [Log [x]] + 1 / x) Out[1]= - x^{ⅇ^{\frac{1}{x}}} + Log [Log [1 + ⅇ^{ⅇ^{x} x} x]] In[2]:= MrvLimit [f, x \to \infty, Debug \to 1] ​ Enter Level ​ 1 ​ Call ​ MrvLimitInf [Log [Log [1 + x ⅇ^{x ⅇ^{x}}]] - ⅇ^{Log [x] ⅇ^{\frac{1}{x}}}, x, Debug \to 1] ​ Ω= ​ {MrvF [ⅇ^{x ⅇ^{x}}, 7, \infty]} Der Term mit höchster Wachstumsklasse ist gefunden, und er tritt 
sogar nur einmal in der Funktion auf. Wir überspringen hier das Umschreiben der
Funktion und verfolgen als nächstes die Potenzreihenentwicklung: ​ Calculating power series: f= ​ Log [Log [1 + \frac{x}{ω}]] - ⅇ^{Log [x] ⅇ^{\frac{1}{x}}} ​ Dominant term: ​ (Log [Log [x] + x ⅇ^{x}] - ⅇ^{Log [x] ⅇ^{\frac{1}{x}}}) ω^{0} ​,ω= ​ ⅇ^{- x ⅇ^{x}} Trotz dass der ω-Term genau einmal in der Funktion auftritt, sein Beitrag zum
Grenzwert löscht sich aus und ist von der Ordnung 0. Der Koeffizient hängt aber 
weiterhin von x ab, es kommt also zu einer weiteren Grenzwertberechnung. ​ Calculating limit of ​ Log [Log [x] + x ⅇ^{x}] - ⅇ^{Log [x] ⅇ^{\frac{1}{x}}} ​ Ω= ​ {MrvF [ⅇ^{x}, 3, \infty]} Das nächst schwächere Wachstumsverhalten ist e^{x} und taucht auch
nur einmal in der Funktion auf. Wir springen wieder direkt zur Potenzreihe: ​ Calculating power series: f= ​ Log [Log [x] + \frac{x}{ω}] - ⅇ^{Log [x] ⅇ^{\frac{1}{x}}} ​ Dominant term: ​ (x + Log [x] - ⅇ^{Log [x] ⅇ^{\frac{1}{x}}}) ω^{0} ​,ω= ​ ⅇ^{- x} Auch diese Wachstumsklasse ist von der Ordnung 0, eine dritte Grenzwertberechnung 
wird nötig. ​ Calculating limit of ​ x + Log [x] - ⅇ^{Log [x] ⅇ^{\frac{1}{x}}} ​ Ω= ​ {MrvF [x, 1, \infty], MrvF [ⅇ^{Log [x] ⅇ^{\frac{1}{x}}}, 10, \infty]} ​ Scale Up: f= ​ x + ⅇ^{x} - ⅇ^{x ⅇ^{\frac{1}{ⅇ^{x}}}} ​ Ω= ​ {MrvF [ⅇ^{x}, 3, \infty], MrvF [ⅇ^{x ⅇ^{\frac{1}{ⅇ^{x}}}}, 11, \infty]} ​ ω= ​ ⅇ^{x} ​ Replacing ω→1/ω: ω= ​ ⅇ^{- x} Diesmal bleibt als Wachstumsklasse nur x übrig, sowie ein weiterer Term
mit polynomiellem Wachstumsverhalten: e^{log (x) e^{1 / x}} . Obwohl
auf den ersten Blick eine Exponentialfunktion, wächst der Term doch insgesamt 
asymptotisch nur polynomiell. Da der Algorithmus auf exponentiellem Wachstum aufbaut, ist jetzt erstmals eine Anhebung 
der Wachstumsklasse erforderlich gewesen. Die Ersetzung war erfolgreich, beide Terme
treten weiterhin in der Funktion auf und sind nun exponentiell. ​ Calculating power series: f= ​ x + \frac{1}{ω} - \frac{ⅇ^{- x + x ⅇ^{ⅇ^{- x}}}}{ω} ​ Series expansion: ​ (- \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{2}) ω + {O [ω]}^{2} ​ Scale Down: f= ​ - \frac{Log [x]}{2} - \frac{{Log [x]}^{2}}{2} ​, ω= ​ ⅇ^{- Log [x]} ​ Dominant term: ​ ω^{1} (- \frac{Log [x]}{2} - \frac{{Log [x]}^{2}}{2}) ​, ω= ​ ⅇ^{- Log [x]} Diesmal tritt die Wachstumsklasse real auf und wird nicht durch 
Auslöschungseffekte eliminiert. Nachdem die Anhebung der Wachstumsklasse rückgängig gemacht wurde,
bleibt der etwas seltsame Term ω = e^{- log x} übrig, was
natürlich nichts anderes als 1 / x ist. Die Funktion hat also das 
Wachstumsverhalten von x^{- 1} . Eigentlich ist damit bereits alles klar, die Funktion muss den Grenzwert 0 haben,
auch der noch ungeklärte Koeffizient - \frac{log x}{2} - \frac{log (x)^{2}}{2} kann daran nichts mehr ändern. Der Algorithmus analysiert die Funktion aber trotzdem 
vollständig bis zum Ende weiter. ​ Calculating limit of ​ - \frac{Log [x]}{2} - \frac{{Log [x]}^{2}}{2} ​ Ω= ​ {MrvF [x, 1, \infty]} ​ Scale Up: f= ​ - \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{2} ​ Ω= ​ {MrvF [x, 1, \infty]} ​ Scale Up: f= ​ - \frac{ⅇ^{x}}{2} - \frac{{(ⅇ^{x})}^{2}}{2} ​ Ω= ​ {MrvF [ⅇ^{x}, 3, \infty]} ​ ω= ​ ⅇ^{x} ​ Replacing ω→1/ω: ω= ​ ⅇ^{- x} Damit war zu rechnen: Die Wachstumsklasse x war bereits eliminiert, 
also sind diesmal mindestens zwei Anhebungen der Wachstumsklasse erforderlich. Die erste
Anhebung führt dabei gleich wieder zu dem Term, der in der Vorrunde aus der 
Potenzreihenentwicklung hervorging. ​ Calculating power series: f= ​ - \frac{1}{2 ω} - \frac{1}{2} {(\frac{1}{ω})}^{2} ​ Series expansion: ​ - \frac{1}{2 ω^{2}} - \frac{1}{2 ω} + {O [ω]}^{2} ​ Scale Down: f= ​ - \frac{1}{2} ​, ω= ​ ⅇ^{- Log [x]} ​ Scale Down: f= ​ - \frac{1}{2} ​, ω= ​ ⅇ^{- Log [Log [x]]} ​ Dominant term: ​ - \frac{1}{2 ω^{2}} ​, ω= ​ ⅇ^{- Log [Log [x]]} Damit sind alle Wachstumsklassen abgearbeitet. Übrig bleibt - \frac{1}{2} (e^{- log log x})^{- 2}, oder einfacher - \frac{1}{2} log (x)^{2} . Es folgt nur noch die Schlussbetrachtung: ​ Dominant asymptotic: ​ - \frac{1}{2} ​ {(ⅇ^{- x ⅇ^{x}})}^{0} ​ {(ⅇ^{- x})}^{0} ​ {(ⅇ^{- Log [x]})}^{1} ​ \frac{1}{{(ⅇ^{- Log [Log [x]]})}^{2}} ​ Leave Level ​ 1 ​ Call ​ MrvLimitInf [Log [Log [1 + x ⅇ^{x ⅇ^{x}}]] - ⅇ^{Log [x] ⅇ^{\frac{1}{x}}}, x, Debug \to 1] == 0 Out[2]= 0 Die ersten beiden Funktionen, e^{- x e^{x}} und e^{- x},
haben starkes Wachstum, gehen in die asymptotische Grenzwertentwicklung jedoch 
nicht ein, deswegen lautet die Asymptote nur - \frac{1}{2} x^{- 1} log (x)^{2} .
Der Grenzwert ist, wie schon vorher klar war, 0. Als zusätzliche Erkenntnis bleibt
noch zu erwähnen, dass der Grenzwert sich von unten an die 0 annähert, da das Vorzeichen 
des konstanten Faktors negativ ist. 6.3 Große Erfolge In diesem Kapitel untersuchen wir die Kompatibilität und Performance des Algorithmus
in unterschiedlichen Mathematica-Versionen. Als Vergleich darf sich auch Mathematicas eingebaute
Limit-Funktion abmühen. [Gru96] gibt dazu in Kapitel 8 eine stattliche Liste von schwierig zu 
lösenden Grenzwertaufgaben vor: \begin{array}{ll} 8.1 & lim_{x \to ∞} e^{x} (e^{1 / x - e^{- x}} - e^{1 / x}) = - 1 \\ 8.2 & lim_{x \to ∞} e^{x} (e^{e^{- x} + e^{- x^{2}} + 1 / x} - e^{1 / x - e^{- e^{x}}}) = 1 \\ 8.3 & lim_{x \to ∞} e^{\frac{e^{x - e^{- x}}}{1 - 1 / x}} - e^{e^{x}} = ∞ \\ 8.4 & lim_{x \to ∞} exp (exp (\frac{e^{x}}{1 - 1 / x})) - exp (exp (\frac{e^{x}}{- {ln (x)}^{- ln (x)} - 1 / x + 1})) = - ∞ \\ 8.5 & lim_{x \to ∞} \frac{exp (exp (e^{x + e^{- x}}))}{exp (exp (e^{x}))} = ∞ \\ 8.6 & lim_{x \to ∞} \frac{exp (exp (e^{x}))}{exp (exp (exp (x - e^{- e^{x}})))} = ∞ \\ 8.7 & lim_{x \to ∞} \frac{exp (exp (e^{x}))}{exp (exp (exp (x - e^{- e^{e^{x}}})))} = 1 \\ 8.8 & lim_{x \to ∞} \frac{e^{e^{x}}}{exp (exp (x - e^{- e^{e^{x}}}))} = 1 \\ 8.9 & lim_{x \to ∞} \frac{{ln (x)}^{2} e^{\sqrt{ln (x)} {ln (ln (x))}^{2} e^{\sqrt{ln (ln (x))} {ln (ln (ln (x)))}^{3}}}}{\sqrt{x}} = 0 \\ 8.10 & lim_{x \to ∞} \frac{x ln (x) {ln (x e^{x} - x^{2})}^{2}}{ln (ln (x^{2} + 2 e^{e^{3 x^{3} ln (x)}}))} = \frac{1}{3} \\ 8.11 & lim_{x \to ∞} (e^{(x e^{- x}) / (e^{- x} + e^{- \frac{2 x^{2}}{x + 1}})} - e^{x}) / x = - e^{2} \\ 8.12 & lim_{x \to ∞} {(3^{x} + 5^{x})}^{1 / x} = 5 \\ 8.13 & lim_{x \to ∞} x / ln (x^{ln (x^{ln (2) / ln (x)})}) = ∞ \\ 8.14 & lim_{x \to ∞} \frac{exp (exp (2 ln (x^{5} + x) ln (ln (x))))}{exp (exp (10 ln (x) ln (ln (x))))} = ∞ \\ 8.15 & lim_{x \to ∞} \frac{4 {exp (exp (\frac{5}{2} x^{- 5 / 7} + \frac{21}{8} x^{6 / 11} + \frac{54}{17} x^{49 / 45} + 2 x^{- 8}))}^{8}}{9 {ln (ln (- ln (\frac{4}{3} x^{- 5 / 14})))}^{(7 / 6)}} = ∞ \\ 8.16 & lim_{x \to ∞} \frac{exp (\frac{4 x e^{- x}}{(e^{x})^{- 1} + {(exp ((2 x^{2}) / (x + 1)))}^{- 1}}) - e^{x}}{{(e^{x})}^{4}} = 1 \\ 8.17 & lim_{x \to ∞} \frac{exp (\frac{x e^{- x}}{e^{- x} + exp (- \frac{2}{x + 1} x^{2})})}{e^{x}} = 1 \\ 8.18 & lim_{x \to ∞} x - e^{x} + \frac{e^{e^{- \frac{x}{1 + e^{- x}}}} e^{- \frac{x}{1 + e^{- \frac{x}{1 + e^{- x}}}}} e^{e^{e^{- \frac{x}{1 + e^{- x}}} - x}}}{{(e^{- \frac{x}{1 + e^{- x}}})}^{2}} = 2 \\ 8.19 & lim_{x \to ∞} \frac{(ln (ln (x) + ln (ln (x))) - ln (ln (x))) ln (x)}{ln (ln (x) + ln (ln (ln (x))))} = 1 \\ 8.20 & lim_{x \to ∞} e^{\frac{ln (ln (x + e^{ln (x) ln (ln (x))}))}{ln (ln (ln (x + e^{x} + ln (x))))}} = e \\ 8.21 & lim_{x \to ∞} e^{x} (sin (e^{- x} + 1 / x) - sin (e^{- x^{2}} + 1 / x)) = 1 \\ 8.22 & lim_{x \to ∞} e^{e^{x}} (e^{sin (e^{- e^{x}} + 1 / x)} - e^{sin (1 / x)}) = 1 \\ 8.26 & lim_{x \to ∞} e^{x} (Γ (x + e^{- x}) - Γ (x)) = ∞ \\ 8.27 & lim_{x \to ∞} e^{Γ (x - e^{- x}) e^{1 / x}} - e^{Γ (x)} = ∞ \\ 8.28 & lim_{x \to ∞} \frac{Γ (x + \frac{1}{Γ (x)}) - Γ (x)}{ln (x)} = 1 \\ 8.29 & lim_{x \to ∞} x (- Γ (x) + Γ (x - \frac{1}{Γ (x)}) + ln (x)) = \frac{1}{2} \\ 8.30 & lim_{x \to ∞} (\frac{Γ (x + \frac{1}{Γ (x)}) - Γ (x)}{ln (x)} - cos (1 / x)) x ln (x) = - \frac{1}{2} \\ 8.31 & lim_{x \to ∞} \frac{Γ (x + 1)}{\sqrt{2 π}} - e^{- x} (x^{x + \frac{1}{2}} + \frac{1}{12} x^{x - \frac{1}{2}}) = ∞ \\ 8.32 & lim_{x \to ∞} \frac{ln (Γ (Γ (x)))}{e^{x}} = ∞ \\ 8.33 & lim_{x \to ∞} \frac{e^{e^{ψ (ψ (x))}}}{x} = \frac{1}{\sqrt{e}} \\ 8.34 & lim_{x \to ∞} \frac{e^{e^{ψ (ln (x))}}}{x} = \frac{1}{\sqrt{e}} \\ 8.35 & lim_{x \to ∞} \frac{e^{e^{e^{ψ (ψ (ψ (x)))}}}}{x} = 0 \end{array} Jeweils unter Mathematica 3.0, Mathematica 4.2 und Mathematica 5.0 wurde jede dieser Grenzwertaufgaben 
einmal mit Mathematicas eigener Limit-Funktion und einmal mit MrvLimit berechnet. Um die Rechenzeit
in Grenzen zu halten, wurde die Berechnung nach 60 Sekunden abgebrochen. Um Chancengleichheit zu
gewähren, wurden außerdem vor jeder Berechnung eventuell gespeicherte Ergebnisse vorheriger
Durchläufe gelöscht. Der Aufruf hat damit für Mathematicas Limit-Funktion folgende Form: Developer`ClearCache[];
	Timing[TimeConstrained[Limit[f, x→∞], 60, Timeout]]; Der Aufruf von MrvLimit hatte die folgende Form: Developer`ClearCache[];
	MrvLimitClearCache[];
	Timing[TimeConstrained[MrvLimit[f, x→∞], 60, Timeout]]; Hier die Ergebnisse der Testläufe: {Aufgabe MrvLimit Limit Math. 5.0 Math. 4.2 Math. 3.0 Math. 5.0 Math. 4.2 Math. 3.0 8.1 Ok 0.1s Ok 0.1s Ok 0.3s Ok 0.1s Ok 0.8s -- 1.9s 8.2 Ok 1.1s Ok 0.5s Ok 1.0s -- 5.8s Ok 41.1s -- 0.0s 8.3 Ok 1.2s Ok 1.0s Ok 1.6s Ok 0.8s Ok 0.7s -- 0.0s 8.4 Ok 3.6s Ok 2.5s Ok 5.3s Ok 7.3s Ok 0.6s -- 0.3s 8.5 Ok 1.4s -- 1.0s -- 1.8s Ok 0.1s Ok 0.0s -- 0.0s 8.6 Ok 0.8s Ok 0.7s Ok 1.2s -- 0.8s -- 0.1s -- 0.1s 8.7 Ok 0.9s Ok 0.9s Ok 1.6s -- 0.7s -- 0.4s -- 0.1s 8.8 Ok 0.6s Ok 0.6s Ok 1.0s -- 0.5s Ok 0.1s -- 0.0s 8.9 Ok 0.4s Ok 0.4s Ok 0.8s F 0.8s Ok 4.4s -- 0.1s 8.10 Ok 0.4s Ok 0.3s Ok 0.7s -- 17.7s -- 50.3s -- 3.4s 8.11 Ok 0.6s Ok 0.5s Ok 0.8s -- 5.0s -- 1.8s -- 2.3s 8.12 Ok 0.0s -- 0.1s -- 0.0s Ok 0.1s -- 0.8s -- 1.9s 8.13 Ok 0.0s Ok 0.0s Ok 0.0s Ok 0.0s Ok 0.0s Ok 0.0s 8.14 Ok 0.6s Ok 0.4s Ok 0.9s -- 1.1s -- 0.4s -- 0.0s 8.15 Time out Time out Time out F 42.3s F 6.7s -- 0.4s 8.16 Ok 0.8s Ok 0.9s Ok 1.0s Ok 1.3s Ok 1.6s -- 2.3s 8.17 Ok 0.3s Ok 0.2s Ok 0.4s Ok 0.3s Ok 0.3s -- 2.2s 8.18 Ok 7.1s Ok 2.3s Ok 2.1s -- 25.0s -- 0.5s -- 0.3s 8.19 Ok 0.0s Ok 0.0s Ok 0.1s Ok 0.5s -- 1.1s -- 0.1s 8.20 -- 0.0s -- 0.3s -- 0.6s -- 8.8s -- 6.4s -- 11.9s 8.21 Ok 0.3s Ok 0.3s Ok 0.6s -- 6.2s Ok 2.0s -- 1.9s 8.22 Ok 0.4s Ok 0.3s Ok 0.7s F 1.0s -- 0.6s -- 2.4s 8.26 Ok 0.9s -- 0.1s -- 0.3s Time out -- 0.1s -- 0.1s 8.27 Ok 2.5s -- 0.1s -- 0.4s Time out -- 0.0s -- 0.1s 8.28 Ok 0.5s -- 0.1s -- 0.3s -- 47.5s -- 0.0s -- 0.1s 8.29 Ok 0.6s -- 0.1s -- 0.4s -- 44.4s -- 0.1s -- 0.2s {Aufgabe MrvLimit Limit Math. 5.0 Math. 4.2 Math. 3.0 Math. 5.0 Math. 4.2 Math. 3.0 8.30 Ok 0.7s -- 0.1s -- 0.4s Time out -- 0.1s -- 0.4s 8.31 Ok 0.4s -- 0.2s -- 0.4s -- 1.6s -- 1.2s -- 0.0s 8.32 Ok 0.2s -- 0.1s -- 0.3s -- 12.5s -- 0.0s -- 0.1s 8.33 Ok 1.3s -- 0.0s -- 0.1s F 1.4s -- 0.0s -- 0.0s 8.34 Ok 0.3s -- 0.0s -- 0.1s F 2.8s F 0.0s -- 0.3s 8.35 Ok 10.4s -- 0.1s -- 0.3s F 27.7s -- 0.0s -- 0.0s Ok: Grenzwert wurde korrekt berechnet --: Kein Ergebnis gefunden F: Falsches Ergebnis gefunden Time out: Maximal zulässige Zeit (60s) überschritten Am katastrophalsten schneidet Mathematica 3.0 ab. Dass wenigstens Aufgabe 8.13 
erfolgreich gelöst wird, liegt an der Tatsache, dass die Funktion bei Eingabe
sofort zu x / ln (x^{ln 2}) vereinfacht wird. Mathematica 4.2 kommt mit einigen Aufgaben schon erheblich besser zurecht, scheitert
aber noch an zu vielen Aufgaben, insbesondere an allen Aufgaben, die die Gamma-Funktion
betreffen. In diesem Bereich gibt sich dann Mathematica 5.0 sehr viel Mühe, leider auch 
mit wenig Erfolg. Im Bereich der normalen Funktionen ist dagegen nur eine Verschiebung,
aber kaum eine Verbesserung zu bemerken. Schwer wiegt auch, dass sich Mathematica mit seiner Limit-Funktion falsche Ergebnisse 
erlaubt. Eine Aufgabe als nicht lösbar abzuweisen ist wenigstens ehrlich, ein falsches
Ergebnis wird dagegen nur allzu oft als wahr hingenommen. MrvLimit schneidet dagegen erwartungsgemäß gut ab. Unter Mathematica 5.0 trüben nur zwei 
Fehlschläge das Bild. Eine genauere Fehleranalyse findet im folgenden Kapitel statt.
Unter Mathematica 4.2 und 3.0 ergibt sich ein identisches Bild: Zwei weitere Grenzwerte
können nicht ermittelt werden, außerdem fallen sämtliche Aufgaben, die die Gamma-Funktion
betreffen, aus. Schuld daran ist, dass das Series-Kommando erst seit Version 5.0 brauchbar 
mit der Gamma-Funktion umgehen kann. Bleibt noch ein abschließender Blick auf die Performance: Die Rechenzeit von MrvLimit
schneidet fast immer gut ab, lange Denkzeiten sind selten. Fast immer ist MrvLimit
auch schneller als Limit. Ungewöhnlich ist auf den ersten Blick jedoch, dass MrvLimit unter Mathematica 4.2 
schneller zu sein scheint, als unter Mathematica 5.0. Der Grund dafür ist der geringere
Arbeitseifer des Simplify-Kommandos, das für die Nulltests des Algorithmus verantwortlich
ist. Die Performance des gesamten Algorithmus hängt tatsächlich hauptsächlich von
der Performance des Series-Kommandos und des Simplify-Kommandos ab. 6.4 Fehlschläge Nicht alles lief einwandfrei, deswegen werfen wir einen detaillierten Blick auf die 4 
Fälle, in denen MrvLimit versagt hat. 6.4.1 Aufgabe 8.15 In Fall von Aufgabe 8.15 legt MrvLimit auf allen Plattformen eine Denkpause epischer Länge
ein und kommt auch nach dreistündiger Rechenzeit noch zu keinem Ergebnis.
Verfolgt man den Ablauf, so kommt es in der dritten Rekursionsstufe
zu folgendem Aufruf: ​ Calculating power series: f= ​ \frac{\frac{2}{{(\frac{1}{ω})}^{8}} + \frac{5}{2 {(\frac{1}{ω})}^{5 / 7}} + \frac{21}{8} {(\frac{1}{ω})}^{6 / 11} + \frac{54}{17} {(\frac{1}{ω})}^{49 / 45}}{- \frac{2}{{(\frac{1}{ω})}^{8}} - \frac{5}{2 {(\frac{1}{ω})}^{5 / 7}} - \frac{21}{8} {(\frac{1}{ω})}^{6 / 11} - \frac{54}{17} {(\frac{1}{ω})}^{49 / 45}} Offensichtlich unterscheiden sich Zähler und Nenner nur durch das entgegengesetzte
Vorzeichen. Mathematica bemerkt das aber nicht und wird davon derart verwirrt, 
dass die Rechenzeit explodiert. Hilft man Mathematica über diese Hürde hinweg, 
ist die Aufgabe korrekt lösbar: In[1]:= Unprotect [Series]; In[2]:= Series [\frac{\frac{2}{{(\frac{1}{ω_})}^{8}} + \frac{5}{2 {(\frac{1}{ω_})}^{5 / 7}} + \frac{21}{8} {(\frac{1}{ω_})}^{6 / 11} + \frac{54}{17} {(\frac{1}{ω_})}^{49 / 45}}{- \frac{2}{{(\frac{1}{ω_})}^{8}} - \frac{5}{2 {(\frac{1}{ω_})}^{5 / 7}} - \frac{21}{8} {(\frac{1}{ω_})}^{6 / 11} - \frac{54}{17} {(\frac{1}{ω_})}^{49 / 45}}, {ω_, 0,_}] = - 1; In[3]:= Protect [Series]; In[4]:= MrvLimit [StandardExamples [[15, 2]], x \to \infty] Out[4]= \infty 6.4.2 Aufgabe 8.20 Bei Aufgabe 8.20 scheitert MrvLimit auch auf allen Plattformen, diesmal mit einer
konkreten Fehlermeldung: In[1]:= MrvLimit [StandardExamples [[20, 2]], x \to \infty, Debug \to 1] (Gekürzt...) ​ Calculating power series: f= ​ ⅇ^{\frac{Log [\frac{x}{ω}]}{x}} ​ Series expansion: ​ {(\frac{x}{ω})}^{\frac{1}{x}} MrvLimit :: SeriesFail : Series failed at ⅇ^{\frac{Log [\frac{x}{ω}]}{x}} Schauen wir doch mal, was Mathematica aus dieser Funktion macht, bevor sie an Series
weitergegeben wird: In[2]:= ​ ⅇ^{\frac{Log [\frac{x}{ω}]}{x}} Out[2]= {(\frac{x}{ω})}^{\frac{1}{x}} Da hat die automatische Vereinfachung von Mathematica mal wieder ganze Arbeit geleistet. 
Wir können Mathematica aber zwingen, die Potenzreihenentwicklung
zuerst auf den Exponenten anzuwenden, um so die Vereinfachung zu unterdrücken. In[3]:= Unprotect [Series]; In[4]:= Series [​ ⅇ^{\frac{Log [\frac{x}{ω_}]}{x}}, {ω_, 0, k_}] := E^Series [\frac{Log [\frac{x}{ω}]}{x}, {ω, 0, k}]; In[5]:= Protect [Series]; In[6]:= MrvLimit [StandardExamples [[20, 2]], x \to \infty] Out[6]= ⅇ Na, warum denn nicht gleich so? Dieses Ergebnis ist jedenfalls korrekt. 6.4.3 Aufgabe 8.5 Aufgabe 8.5 wird von Mathematica 5.0 fehlerfrei gelöst, von Mathematica 4.2 und 3.0 jedoch nicht. Woran liegt es? In[1]:= MrvLimit [StandardExamples [[5, 2]], x \to \infty, Debug \to 1] ​ Calculating power series: f= ​ ⅇ^{- ⅇ^{ⅇ^{x}} - \frac{(- 1 + ⅇ) (ⅇ^{ⅇ^{x}} - ⅇ^{ⅇ^{x + ⅇ^{- x}}})}{1 - ⅇ} + ⅇ^{ⅇ^{x + ⅇ^{- x}}}} ω^{\frac{- 1 + ⅇ}{1 - ⅇ}} ​ Series expansion: ​ Series [ⅇ^{- ⅇ^{ⅇ^{x}} + ⅇ^{ⅇ^{ⅇ^{- x} + x}} - \frac{(- 1 + ⅇ) (ⅇ^{ⅇ^{x}} - ⅇ^{ⅇ^{ⅇ^{- x} + x}})}{1 - ⅇ}} ω^{\frac{- 1 + ⅇ}{1 - ⅇ}}, {ω, 0, 1}] MrvLimit :: SeriesFail : Series failed at ⅇ^{- ⅇ^{ⅇ^{x}} - \frac{(- 1 + ⅇ) (ⅇ^{ 1 } - ⅇ^{ 1 })}{1 - ⅇ} + ⅇ^{ⅇ^{x + ⅇ^{- x}}}} ω^{\frac{- 1 + ⅇ}{1 - ⅇ}} Offensichtlich bereitet der Term ω^{\frac{- 1 + e}{1 - e}} Mathematica 4.2
erheblich Bauchschmerzen. Auf den ersten Blick scheint das ein irrationaler Exponent zu sein,
und irrationale Exponenten verkraftet das Series-Kommando nicht. Würde Mathematica etwas
genauer hinschauen, wäre vielleicht aufgefallen, dass der Exponent schlicht -1 ist... Doch warum scheitert Mathematica 5.0 nicht an dieser Stelle? Die gleiche Situation tritt jedenfalls
auch auf: ​ Calculating power series: f= ​ ⅇ^{- ⅇ^{ⅇ^{x}} - \frac{(- 1 + ⅇ) (ⅇ^{ⅇ^{x}} - ⅇ^{ⅇ^{x + ⅇ^{- x}}})}{1 - ⅇ} + ⅇ^{ⅇ^{x + ⅇ^{- x}}}} ω^{\frac{- 1 + ⅇ}{1 - ⅇ}} ​ Series expansion: ​ ⅇ^{- ⅇ^{ⅇ^{x}} + ⅇ^{ⅇ^{ⅇ^{- x} + x}} - \frac{(- 1 + ⅇ) (ⅇ^{ⅇ^{x}} - ⅇ^{ⅇ^{ⅇ^{- x} + x}})}{1 - ⅇ}} ω^{\frac{- 1 + ⅇ}{1 - ⅇ}} Auch Mathematica 5.0 erkennt den Exponenten nicht als -1, erkennt aber sehr wohl,
dass es ein polynomieller Term mit Exponent \leq 1 ist und reicht 
ihn direkt unmodifiziert durch Series 
hindurch, auf das der Aufrufer sehe, was er damit anfange... Es bleibt danach für das 
Series-Kommando nur noch die Nullfunktion übrig, wodurch die eigentliche
Potenzreihe gleich vollständig verschwindet. Daher taucht auch kein O[ω] auf. 6.4.4 Aufgabe 8.12 Auch mit Aufgabe 8.12 hat Mathematica 5.0 mehr Erfolg, als seine Vorgänger. Werfen wir 
wieder einen Blick auf das Problem: In[1]:= MrvLimit [StandardExamples [[12, 2]], x \to \infty, Debug \to 1] ​ Calculating power series: f= ​ ⅇ^{\frac{Log [\frac{1}{ω} + ⅇ^{x Log [3] - \frac{x Log [5] Log [3]}{Log [5]}} ω^{- \frac{Log [3]}{Log [5]}}]}{x}} ​ Series expansion: ​ Series [{(3^{x} + \frac{1}{ω})}^{\frac{1}{x}}, {ω, 0, 1}] MrvLimit :: SeriesFail : Series failed at ⅇ^{\frac{Log [\frac{1}{ω} + ⅇ^{ 1 } ω^{-  1 }]}{x}} Hier lohnt wieder ein Blick auf die Funktion, wie Mathematica sie 
vereinfacht, bevor das Series-Kommando seine Arbeit beginnt: In[2]:= ⅇ^{\frac{Log [\frac{1}{ω} + ⅇ^{x Log [3] - \frac{x Log [5] Log [3]}{Log [5]}} ω^{- \frac{Log [3]}{Log [5]}}]}{x}} Out[2]= {(\frac{1}{ω} + ω^{- \frac{Log [3]}{Log [5]}})}^{\frac{1}{x}} Die Ähnlichkeit zum Problem von 8.20 ist kaum zu übersehen. Vermutlich würde 
der damalige Trick auch hier funktionieren. Diesmal kommt Mathematica 5.0 aber 
an gleicher Stelle besser mit der Funktion zurecht: ​ Calculating power series: f= ​ ⅇ^{\frac{Log [\frac{1}{ω} + ⅇ^{x Log [3] - \frac{x Log [5] Log [3]}{Log [5]}} ω^{- \frac{Log [3]}{Log [5]}}]}{x}} ​ Series expansion: ​ 5 + \frac{5 3^{x} ω}{x} + {O [ω]}^{2} 6.4.5 Schlussfolgerung Alle vier Beispiele zeigen deutlich, dem Algorithmus ist kein Vorwurf zu machen.
Der MrvLimit-Algorithmus scheitert nur an den Nahtstellen zu Mathematica.
Natürlich sind die Beispiele von vornherein so ausgesucht, dass sie vom
Algorithmus auch bewältigt werden können. Doch der Vergleich zur Limit-Funktion
zeigt deutlich die Überlegenheit, wenn es um Funktionen dieser Kategorie geht. Zwei Fehlerquellen treten derzeit noch deutlich hervor: Zum einen ist Mathematicas 
Angewohnheit, jeden Term ungefragt umzuschreiben, hier ein ernstzunehmendes
Problem. Kann das Umschreiben Algorithmus-intern noch umgangen werden, so ist
spätestens bei der Übergabe an Series die mühsam entwickelte Funktionsstruktur
oft wieder hinfällig. Mathematica wäre gut beraten, zumindest die Möglichkeit 
vorzusehen, bestimmte Vereinfachungen vorübergehend zu deaktivieren. Die zweite Fehlerquelle ist das Series-Kommando. Seine Beschränkung auf 
Puiseux-Reihen, deren Exponenten rational mit gemeinsamen Hauptnenner sein 
müssen, erfüllt im Extremfall schon nicht die Anforderungen des MrvLimit-Algorithmus.
Eine Implementierung eines Series-Kommandos für generalisierte Potenzreihen 
wäre sicher nicht nachteilig, insbesondere wenn Funktionen ebenfalls in 
Algorithmus-interner Darstellung übergeben werden könnten, anstatt sie zuerst in
allgemeine Mathematica-Terme zurück zu übersetzen. 6.5 Grenzen In diesem Kapitel geht es um die Grenzen des Algorithmus und wie man sie mit ein
paar Handgriffen vielleicht umgehen kann, um doch noch zu einer Lösung zu kommen.
Eine solche Grenze ist die Verwendung von symbolischen Konstanten. Schon eine einfache Aufgabe wie {lim}_{x \to ∞} x^{c} hat keine
allgemeine Lösung, sondern hängt direkt vom Vorzeichen von c ab. Genauso problematisch 
ist {lim}_{x \to ∞} (- 1)^{c} \cdot x, bei dem die Lösung sogar vom konkreten
Wert von c abhängt. Kann man solche Aufgaben überhaupt mit Computeralgebra lösen? Im Laufe der Tests trat folgende Aufgabe auf: In[4]:= Δ = \sqrt{b^{2} - 4 a c}; In[5]:= f = Δ^n * Pochhammer [d / (2 * a) - (2 * a * e - b * d) / (2 * a * Δ), n] In[6]:= / ((- a)^n * Pochhammer [n - 1 + d / a, n]) Out[6]= \frac{{(- a)}^{- n} {(b^{2} - 4 a c)}^{n / 2} Pochhammer [\frac{d}{2 a} - \frac{- b d + 2 a e}{2 a \sqrt{b^{2} - 4 a c}}, n]}{Pochhammer [- 1 + \frac{d}{a} + n, n]} In[7]:= f = f /. Pochhammer [x_, n_] \to Gamma [x + n] / Gamma [x] Out[7]= \frac{{(- a)}^{- n} {(b^{2} - 4 a c)}^{n / 2} Gamma [- 1 + \frac{d}{a} + n] Gamma [\frac{d}{2 a} - \frac{- b d + 2 a e}{2 a \sqrt{b^{2} - 4 a c}} + n]}{Gamma [\frac{d}{2 a} - \frac{- b d + 2 a e}{2 a \sqrt{b^{2} - 4 a c}}] Gamma [- 1 + \frac{d}{a} + 2 n]} Gesucht ist der Grenzwert für a \to 0 . Wir beschränken uns hier
auf a > 0, der Grenzwert bei Annäherung von unten verläuft 
ähnlich. Außerdem beschränken wir uns auf den interessanten Fall d > 0,
damit die Gamma-Funktion Γ (- 1 + d / a + n) gegen + ∞ läuft. Um Mathematica mitzuteilen, dass d > 0 sein soll, genügt es, diese Bedingung
direkt in das Sign-Kommando zu integrieren: In[4]:= Unprotect [Sign]; Sign [d] = 1; Protect [Sign]; In[5]:= MrvLimit [f, a \to 0, Direction \to - 1] MrvLimit :: UnsupportedArgument : MrvLimit does not support Gamma [a] for a \to \infty Sign [\frac{d}{2} + \frac{\sqrt{b^{2}} d}{2 b}], appearing in Gamma [\frac{a d}{2} + n - \frac{a (- b d + \frac{2 e}{a})}{2 \sqrt{b^{2} - \frac{4 c}{a}}}] Nun, das funktioniert noch nicht so, wie geplant. Offensichtlich ist das
Vorzeichen von \frac{d}{2} + \frac{\sqrt{b^{2}} d}{2 b} von entscheidender
Rolle. Da aber Sign [\frac{d}{2} + \frac{\sqrt{b^{2}} d}{2 b}] = Sign [\frac{d}{2}] \cdot Sign [1 + \frac{\sqrt{b^{2}}}{b}] gilt, ist das kritische Vorzeichen das von b . Ist b > 0, so 
ist der letzte Term 2, für b < 0 dagegen 0. Beschäftigen wir uns zunächst mit b > 0 . Wieder weisen wir das
Vorzeichen von b direkt Sign zu. Außerdem werden wir den Term \sqrt{b^{2}} direkt zu b vereinfachen, um auch diese Falle gleich zu entschärfen: In[6]:= Unprotect [Sign]; Sign [d] = 1; Sign [b] = 1; Protect [Sign]; In[7]:= Unprotect [Power]; \sqrt{b^{2}} = b; Protect [Power]; In[8]:= MrvLimit [f, a \to 0, Direction \to - 1, Debug \to 1] ​ Ω= ​ {MrvF [a, 1, \infty]} ​ ω= ​ ⅇ^{a} ​ Replacing ω→1/ω: ω= ​ ⅇ^{- a} ​ Series expansion: ​ {(- ω)}^{- n} ({(b^{2})}^{n / 2} + (- 2 {(b^{2})}^{- 1 + \frac{n}{2}} c n + {(b^{2})}^{n / 2} (\frac{c n}{b^{2}} + \frac{n}{d} - \frac{e n}{b d} - \frac{n^{2}}{d})) ω + {O [ω]}^{2}) MrvLimit :: SeriesFail : Series failed at ⅇ^{LogGamma [- 1 + n + \frac{d}{ω}] -  1  -  1  + LogGamma [n + \frac{d}{ 1 } - \frac{- b d + \frac{ 1 }{ 1 }}{2 ω \sqrt{ 1  -  1 }}]} {(- \frac{1}{\frac{1}{ω}})}^{- n} {(b^{2} - \frac{4 c}{\frac{1}{ω}})}^{n / 2} Die Ausgabe von Series enthält hier einen Faktor (- ω)^{- n} .
Das genaue Verhalten dieses Faktors ist natürlich abhängig vom Vorzeichen von n,
deswegen scheitert der Algorithmus hier. Die einzige Alternative ist, den Faktor
von Hand aus der Aufgabe zu entfernen. ω ist in diesem Fall e^{a},
allerdings wurde der Term einmal in eine höhere Wachstumsklasse angehoben, und 
auch die Richtung a \to 0^{+} spielt eine Rolle.
Der richtige Faktor, um (- ω)^{- n} zu neutralisieren, lautet
insgesamt (- a)^{n} . In[9]:= MrvLimit [f * (- a)^n, a \to 0, Direction \to - 1] Out[9]= {(b^{2})}^{n / 2} Damit ist im Fall b > 0 der Grenzwert: lim_{a \to 0^{+}} f = b^{n} lim_{a \to 0^{+}} (- a)^{- n} = (- 1)^{n} b^{n} lim_{a \to 0^{+}} a^{- n} Betrachten wir nun den Fall b < 0 . Diesmal ändert sich eine 
wesentliche Randbedingung, das Vorzeichen von b . Deswegen muss hier auch unbedingt
der Cache der berechneten Grenzwerte geleert werden, da einige der gespeicherten
Ergebnisse nur unter der Annahme b > 0 gültig sind. In[10]:= Unprotect [Sign]; Sign [d] = 1; Sign [b] = - 1; Protect [Sign]; In[11]:= Unprotect [Power]; \sqrt{b^{2}} = - b; Protect [Power]; In[12]:= MrvLimitClearCache []; In[13]:= MrvLimit [f, a \to 0, Direction \to - 1] MrvLimit :: UnknownSign : Cannot determine sign: n (- \infty) Anscheinend müssen wir in diesem Fall auch das Vorzeichen von n beachten.
Wir überprüfen zunächst b < 0, n > 0 : In[14]:= Unprotect [Sign]; Sign [d] = 1; Sign [b] = - 1; Sign [n] = 1; Protect [Sign]; In[15]:= Unprotect [Power]; \sqrt{b^{2}} = - b; Protect [Power]; In[16]:= MrvLimitClearCache []; In[17]:= MrvLimit [f, a \to 0, Direction \to - 1, Debug \to 1] ​ Series expansion: ​ {(- ω)}^{- n} ω^{n} (\frac{{(b^{2})}^{n / 2} d^{- n} Gamma [- \frac{c d}{b^{2}} + \frac{e}{b} + n]}{Gamma [\frac{- c d + b e}{b^{2}}]} + (Gamma [- \frac{c d}{b^{2}} + \frac{e}{b} + n] (\frac{- 2 {(b^{2})}^{- 1 + \frac{n}{2}} c d^{- n} n + {(b^{2})}^{n / 2} (\frac{3}{2} d^{- 1 - n} n - \frac{3}{2} d^{- 1 - n} n^{2})}{Gamma [\frac{- c d + b e}{b^{2}}]} - \frac{{(b^{2})}^{n / 2} d^{- n} (- \frac{3 c^{2} d}{b^{4}} + \frac{2 c e}{b^{3}}) PolyGamma [0, \frac{- c d + b e}{b^{2}}]}{Gamma [\frac{- c d + b e}{b^{2}}]}) + \frac{{(b^{2})}^{n / 2} d^{- n} (- \frac{3 c^{2} d}{b^{4}} + \frac{2 c e}{b^{3}}) Gamma [- \frac{c d}{b^{2}} + \frac{e}{b} + n] PolyGamma [0, - \frac{c d}{b^{2}} + \frac{e}{b} + n]}{Gamma [\frac{- c d + b e}{b^{2}}]}) ω + {O [ω]}^{2}) MrvLimit :: SeriesFail : Series failed at \frac{Gamma [n + \frac{d}{2 ω} - \frac{- b d + \frac{2 e}{\frac{1}{ω}}}{2 ω \sqrt{b^{2} - \frac{4  1   1 }{ 1 }}}] ⅇ^{ 1 }  1   1  {( 1  -  1 )}^{n / 2}}{Gamma [\frac{d}{2 ω} - \frac{- b d + \frac{2 e}{\frac{1}{ω}}}{2 ω \sqrt{b^{2} - \frac{4  1   1 }{ 1 }}}]} Der Term (- ω)^{- n} ω^{n} bereitet diesmal die Bauchschmerzen.
Der Faktor wird kompensiert durch den Faktor (- a)^{n} a^{- n} : In[18]:= MrvLimit [f * (- a)^n * a^(- n), a \to 0, Direction \to - 1] Out[18]= \frac{{(b^{2})}^{n / 2} d^{- n} Gamma [- \frac{c d}{b^{2}} + \frac{e}{b} + n]}{Gamma [\frac{- c d + b e}{b^{2}}]} Da (- a)^{- n} a^{n} = (- 1)^{n} und (b^{2})^{n / 2} = {(\sqrt{b^{2}})}^{n} = (- b)^{n} ist, ergibt sich im Fall b < 0, n > 0 der Grenzwert: lim_{a \to 0^{+}} f = (- 1)^{n} (- b)^{n} d^{- n} \frac{Γ (- c d b^{- 2} + e b^{- 1} + n)}{Γ (- c d b^{- 2} + e b^{- 1}))} = b^{n} d^{- n} Pochhammer (- c d b^{- 2} + e b^{- 1}, n) Nächster Schritt ist b < 0, n < 0 . Wir versuchen gleich die Berechnung mit dem gleichen
Vorfaktor wie eben: In[19]:= Unprotect [Sign]; Sign [d] = 1; Sign [b] = - 1; Sign [n] = - 1; Protect [Sign]; In[20]:= Unprotect [Power]; \sqrt{b^{2}} = - b; Protect [Power]; In[21]:= MrvLimitClearCache []; In[22]:= MrvLimit [f * (- a)^n * a^(- n), a \to 0, Direction \to - 1] Out[22]= \frac{{(b^{2})}^{n / 2} d^{- n} Gamma [- \frac{c d}{b^{2}} + \frac{e}{b} + n]}{Gamma [\frac{- c d + b e}{b^{2}}]} Das ist das gleiche Ergebnis, wie im Fall n > 0 .
Es bleibt noch n = 0 zu berechnen: In[23]:= Unprotect [Sign]; Sign [d] = 1; Sign [b] = - 1; Sign [n] =.; Protect [Sign]; In[24]:= Unprotect [Power]; \sqrt{b^{2}} = - b; Protect [Power]; In[25]:= MrvLimitClearCache []; In[26]:= MrvLimit [f /. n \to 0, a \to 0, Direction \to - 1] Out[26]= 1 Diesmal ergibt sich ein einfaches Ergebnis ohne weitere Nebenbedingungen. Das gleiche Ergebnis kommt auch
heraus, wenn man in die anderen zwei Lösungen für n den Wert n = 0 einsetzt. Schließlich, als letzter Fall, bleibt b = 0 zu berechnen: In[27]:= Unprotect [Sign]; Sign [d] = 1; Sign [b] =.; Protect [Sign]; In[28]:= Unprotect [Power]; \sqrt{b^{2}} =.; Protect [Power]; In[29]:= MrvLimitClearCache []; In[30]:= MrvLimit [f /. b \to 0, a \to 0, Direction \to - 1] MrvLimit :: SeriesFail : Series failed at 2^{n} ⅇ^{LogGamma [- 1 + n + \frac{d}{ω}] - LogGamma [ 1 ]  1   1  + LogGamma [n + \frac{d}{2 ω} - \frac{e}{2 \sqrt{-  1 }}]} {(- \frac{1}{\frac{1}{ω}})}^{- n} {(- \frac{c}{\frac{1}{ω}})}^{n / 2} Wagen wir die kühne Spekulation, dass diesmal der kompensierende Faktor (- a)^{n} (- c a)^{- n / 2} ist, ausgehend von der Struktur der
Funktion, an der Series scheiterte: In[31]:= MrvLimit [f * {(- a)}^{n} {(- c a)}^{- n / 2} /. b \to 0, a \to 0, Direction \to - 1] Out[31]= 1 Richtig geraten. Der Grenzwert lautet für b = 0 also: lim_{a \to 0^{+}} f = lim_{a \to 0^{+}} (- a)^{- n} (- ca)^{n / 2} = (- 1)^{n} (- c)^{n / 2} lim_{a \to 0^{+}} a^{- n / 2} Es ergibt sich also folgendes Gesamtbild: \begin{array}{ll} lim_{a \to 0^{+}} f = (- 1)^{n} b^{n} lim_{a \to 0^{+}} a^{- n} & , wenn b > 0, d > 0 ist, \\ lim_{a \to 0^{+}} f = (- 1)^{n} (- c)^{n / 2} lim_{a \to 0^{+}} a^{- n / 2} & , wenn b = 0, d > 0 ist. \\ lim_{a \to 0^{+}} f = b^{n} d^{- n} Pochhammer (- c d b^{- 2} + e b^{- 1}, n) & , wenn b < 0, d > 0 ist, \end{array} Das Beispiel zeigt eindrucksvoll, dass ein einfaches Vorzeichen einer Konstante dramatische
Auswirkungen auf das Ergebnis einer Grenzwertaufgabe haben kann. In diesem Fall ändert sich selbst
die Wachstumsklasse vollständig: Für b > 0 konstant, für b \leq 0 wechselnd 0 oder + ∞, je nach dem Vorzeichen von n. Trotzdem kann man mit etwas Intuition und Experimentierfreude die Aufgabe so umstellen, dass sie für MrvLimit
lösbar bleibt, wodurch MrvLimit in den Händen eines geübten Mathematikers auch bei solchen Aufgaben 
zu einem wertvollen Werkzeug wird. Zurück - Inhalt - Übersicht - Vorwärts

6 Praxistests

6.1 Einfache Auslöschung

6.2 Überlagerung unterschiedlichen Wachstums

6.3 Große Erfolge

6.4 Fehlschläge

6.4.1 Aufgabe 8.15

6.4.2 Aufgabe 8.20

6.4.3 Aufgabe 8.5

6.4.4 Aufgabe 8.12

6.4.5 Schlussfolgerung

6.5 Grenzen

Ok:	Grenzwert wurde korrekt berechnet
--:	Kein Ergebnis gefunden
F:	Falsches Ergebnis gefunden
Time out:	Maximal zulässige Zeit (60s) überschritten